סיכום נוסחאות הסתברות

הנוסחה $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ נכונה רק כאשר $A$ ו-$B$ מאורעות בלתי תלויים. בכל מקרה אחר, ובמיוחד כשלא נאמר במפורש שהמאורעות בלתי תלויים, חייבים להשתמש בנוסחה הכללית $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. הנוסחה הכללית נכונה תמיד; היא פשוט מצטמצמת לצורה המוכרת כאשר $P(B|A) = P(B)$, כלומר במצב של אי-תלות.

מאורעות זרים אינם יכולים לקרות יחד: $A \cap B = \emptyset$, ולכן $P(A \cap B) = 0$. מאורעות בלתי תלויים יכולים לקרות יחד, אך ההסתברות של אחד אינה משפיעה על השני: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. דוגמה לבלבול נפוץ: אם $P(A) = 0.3$ ו-$P(B) = 0.4$ והם זרים, אז $P(A \cap B) = 0$ ולא $0.12$. ההכפלה מתאימה רק לאי-תלות, לא לזרות.

יש שלוש דרכים שקולות לבדוק. הראשונה: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. השנייה: $P(A|B) = P(A)$. השלישית: $P(B|A) = P(B)$. אם אחד מהשלושה מתקיים שני האחרים מתקיימים אוטומטית. לדוגמה, אם $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ ו-$P(A \cap B) = 0.2$, אזי $0.5 \cdot 0.4 = 0.2$ ולכן המאורעות בלתי תלויים.

כן. הנוסחה הכללית $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ תמיד נכונה. כשהמאורעות בלתי תלויים פשוט מציבים $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ומקבלים $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$. החיסור בטל רק כשהמאורעות זרים, כי אז $P(A \cap B) = 0$.

כאשר נתון התנאי בכיוון אחד וצריך למצוא אותו בכיוון ההפוך. למשל, נתון $P(B|A)$ והמטרה היא $P(A|B)$. אם $A$ ו-$B$ בלתי תלויים נוסחת בייס מצטמצמת ל-$P(A|B) = P(A)$, ואז אין צורך בה. נוסחת בייס נחוצה דווקא במצבים של תלות.