זיהוי ביטויים: תנאי, חיתוך, איחוד

$P(A \cap B)$ הוא הסיכוי שקורים שני המאורעות יחד, בתוך כלל האוכלוסייה. $P(A|B)$ הוא הסיכוי ש-$A$ קורה בתוך תת-קבוצה שבה $B$ קרה. למשל "20% מהתלמידים עברו שתי בחינות" $\Rightarrow$ $P(A \cap B) = 0.2$, אבל "20% מהתלמידים שעברו אנגלית עברו גם עברית" $\Rightarrow$ $P(B|A) = 0.2$ (כאן "שעברו אנגלית" מסנן לתת-קבוצה).

המאורע אחרי הגריז הוא התנאי, כלומר התת-קבוצה שכבר ידוע שקרתה. שאלו את עצמכם: מה ידוע מראש (זה אחרי הגריז), ועל מה שואלים (זה לפני הגריז). "מבין הנשים, 40% עוברות" $\Rightarrow$ ידוע שאישה (תנאי), שואלים על עוברת. אז $P(\text{עוברת}|\text{אישה}) = 0.4$.

"גברים" הוא המשלים של "אישה", כלומר $\bar{A}$. אם רוצים להגיד "$x\%$ מהגברים", זה $P(\ldots|\bar{A}) = x/100$. אם המאורע השני הוא $B =$ "מצליח", אז "גבר שמצליח" הוא $\bar{A} \cap B$ ולא $\bar{A} \cup B$.

"וגם" מחבר תנאים. שני המאורעות חייבים לקרות, וזה $P(A \cap B)$. "או" אומר שלפחות אחד מהמאורעות מתקיים, וזה $P(A \cup B)$. בבגרות "או" מופיע פחות, אבל חשוב לזהות אותו: "לקוח שקנה חולצה או מכנסיים" $\Rightarrow$ $P(A \cup B)$, לא $P(A \cap B)$.

מחפשים סינון לתת-קבוצה. אם המשפט מתחיל ב-"מתוך כל ה-X" או "באקראי" - זה לא תנאי, האוכלוסייה היא הכלל. אם יש פסוקית זיקה ("ש...") שמגדירה תת-קבוצה, או אם יש תנאי מוקדם ("כאשר", "אם", "בהנחה ש-") - זה תנאי. במקרה של ספק, רושמים את המשפט באנגלית בעצמכם: "given that..." = תנאי, "and..." = חיתוך.

אם אין מילת סינון ($\text{מבין}/\text{מתוך הקבוצה הזאת}$), אלא רק שני תיאורים - זה חיתוך. "גבר עם שיער ארוך" כשבוחרים מכלל הקבוצה הוא $P(\bar{A} \cap B)$ כאשר $A$ = אישה, $B$ = שיער ארוך. אם המשפט היה "מבין הגברים, מי בעל שיער ארוך" - אז זה $P(B|\bar{A})$.

משפט בייז מופיע כאשר שואלים על תנאי בכיוון ההפוך ממה שנתון. הסימן: יש $P(A|B)$ ו-$P(B|A)$ בשאלה, וצריך לחשב את ההפוך ממה שניתן ישירות. למשל: נתון שסיכוי לחלות הוא 10%, וסיכוי לקבל תוצאה חיובית בבדיקה אם חולים הוא 90%. שואלים: "אם הבדיקה חיובית, מה הסיכוי שאכן חולה?" זה $P(\text{חולה}|\text{חיובי})$ שלא נתון ישירות. הנוסחה: $P(A|B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$, כאשר $P(B)$ מחושב לפי נוסחת ההסתברות השלמה: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})$.