אינדוקציה: עבודה עם עצרת

עצרת $n!$ היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 עד $n$.
לדוגמה: $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
שתי הגדרות חשובות:
$0! = 1$
$(n-1)! \cdot n = n!$

מפרקים את המונה החל מ-$n!$ כלפי מעלה:
$\frac{(n+3)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1)(n+2)(n+3)}{n!}$
מצמצמים את $n!$:
$= (n+1)(n+2)(n+3)$

מפרקים $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$ ומאחדים מכנים:
$\frac{1}{n!} + \frac{1}{n! \cdot (n+1)} = \frac{n+1}{n! \cdot (n+1)} + \frac{1}{n! \cdot (n+1)}$
$= \frac{n+2}{(n+1)!}$

מוציאים $n!$ כגורם משותף:
$(n+1)! - n! = n! \cdot (n+1) - n! \cdot 1 = n! \cdot [(n+1) - 1] = n! \cdot n$

הכלל $(n-1)! \cdot n = n!$ הוא הכלי המרכזי.
הוא מאפשר לפרק עצרת גדולה לעצרת קטנה יותר: $(k+1)! = k! \cdot (k+1)$.
בהוכחה: מצמצמים עצרות כדי להגיע לצורת $n = k+1$ מתוך הנחת $n = k$.