איך מוכיחים שסדרה נתונה היא חשבונית

מחשבים את $a_{n+1} - a_n$ לפי הנוסחה הכללית ומראים שהתוצאה היא מספר קבוע שאינו תלוי ב-$n$.
אם התוצאה קבועה, הסדרה חשבונית והפרש $d$ שווה לאותו קבוע.
אם התוצאה תלויה ב-$n$, הסדרה אינה חשבונית.

לדוגמה: בסדרה 0, 2, 4, 7 שני ההפרשים הראשונים שווים ל-2, אך ההפרש השלישי שווה ל-3. הסדרה אינה חשבונית.
בדיקת זוגות ספציפיים מוכיחה רק שאותם שכנים שווים, לא שכל ההפרשים קבועים לכל $n$.
ההוכחה חייבת לחשב $a_{n+1} - a_n$ לפי הנוסחה הכללית ולהראות שהתוצאה קבועה.

לא. מחשבים: $a_{n+1} - a_n = [(n+1)^2 - 1] - [n^2 - 1] = 2n + 1$.
התוצאה תלויה ב-$n$ ולכן הסדרה אינה חשבונית.
איברי הסדרה: $0, 3, 8, 15, \ldots$ וההפרשים $3, 5, 7, \ldots$ הולכים וגדלים.

כן. אם נוסחת $a_n$ היא פונקציה לינארית ב-$n$ (כלומר ישר), הסדרה חשבונית והשיפוע הוא ההפרש.
אם הפונקציה אינה לינארית (למשל ריבועית או אקספוננציאלית), הסדרה אינה חשבונית.
לדוגמה: $a_n = 4n + 3$ לינארית, לכן חשבונית.
$a_n = n^2 - 1$ ריבועית, לכן אינה חשבונית.