סדרה חשבונית: הגדרות ותכונות

סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע.
הפרש זה נקרא $d$ ומחושב לפי: $d = a_{n+1} - a_n$ לכל $n$.
אם $d > 0$ הסדרה עולה, אם $d < 0$ היא יורדת, ואם $d = 0$ כל האיברים שווים.

הנוסחה היא:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
כאשר $a_1$ הוא האיבר הראשון, $d$ הוא הפרש הסדרה, ו-$n$ הוא מיקום האיבר.
לדוגמה: אם $a_1 = 5$ ו-$d = 3$:
$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2$

כלל הנסיגה מגדיר כל איבר בעזרת הקודם:
$a_{n+1} = a_n + d,\quad a_1 = \square$
שימושי להרחבת הסדרה שמאלה (חיסור $d$) ולחישוב איברים עוקבים ישירות.

כל איבר בסדרה חשבונית הוא הממוצע החשבוני של שני שכניו:
$a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
תכונה זו שימושית כאשר נתון כי שלושה מספרים מהווים סדרה חשבונית.

כותבים שתי משוואות לפי הנוסחה $a_n = a_1 + (n-1)d$ עם הנתונים, ופותרים את מערכת המשוואות.
מהפתרון מקבלים את $a_1$ ו-$d$, ואז כותבים את הנוסחה הכללית.

מחשבים $a_n - a_{n-1}$ ובודקים אם התוצאה קבועה (לא תלויה ב-$n$).
לדוגמה: $a_n = 3n + 1$:
$a_n - a_{n-1} = (3n+1) - (3(n-1)+1) = 3$
התוצאה קבועה, לכן זו סדרה חשבונית עם $d = 3$.