סדרה חשבונית: סכום

שלוש נוסחאות שקולות:
כשנתון האיבר הראשון, האחרון ומספר האיברים:
$S_n = (a_1 + a_n) \cdot \dfrac{n}{2}$
כשנתון האיבר הראשון, ההפרש ומספר האיברים:
$S_n = (2a_1 + (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2}$
כשנתון האיבר האחרון, ההפרש ומספר האיברים:
$S_n = (2a_n - (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2}$

בוחרים לפי הנתונים שיש:
נתון האיבר הראשון והאחרון: השתמשו בנוסחה הראשונה.
$S_n = (a_1 + a_n) \cdot \dfrac{n}{2}$
נתון האיבר הראשון וההפרש: השתמשו בנוסחה השנייה.
$S_n = (2a_1 + (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2}$
נתון האיבר האחרון וההפרש: השתמשו בנוסחה השלישית.
$S_n = (2a_n - (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2}$

מציבים את נוסחת הסכום לשני הצדדים:
$S_{3n} = (2a_1 + (3n-1)d) \cdot \dfrac{3n}{2}$
$S_{2n} = (2a_1 + (2n-1)d) \cdot \dfrac{2n}{2}$
מציבים בתנאי $S_{3n} = 3S_{2n}$:
$(2a_1 + (3n-1)d) = 2(2a_1 + (2n-1)d)$
מפשטים:
$2a_1 + 3nd - d = 4a_1 + 4nd - 2d$
$0 = 2a_1 + (n-1)d$
זהו הביטוי בנוסחת הסכום, ולכן:
$S_n = (2a_1 + (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2} = 0$

שלושת הנוסחאות נגזרות מנוסחה אחת. הבסיס:
$S_n = (a_1 + a_n) \cdot \dfrac{n}{2}$
נוסחה 2: מציבים $a_n = a_1 + (n-1)d$ ומקבלים:
$S_n = (2a_1 + (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2}$
נוסחה 3: מציבים $a_1 = a_n - (n-1)d$ ומקבלים:
$S_n = (2a_n - (n-1)d) \cdot \dfrac{n}{2}$

מציבים בנוסחת הסכום:
$S_{10} = (2 \cdot 2 + 9d) \cdot \dfrac{10}{2}$
$65 = (4 + 9d) \cdot 5$
$13 = 4 + 9d$
$9d = 9$
$d = 1$