סדרות כלליות וסדרה המוגדרת בעזרת סכום

מפרקים כל איבר $a_n$ לסכום של כמה ביטויים, כאשר כל ביטוי שייך לסדרה חשבונית, הנדסית או קבועה.
מחשבים את סכום כל גורם בנפרד לפי הנוסחה המתאימה, ואז מחברים.
לדוגמה: $a_n = 5^n - 3n + 1$ מפורק לסדרה הנדסית, חשבונית וקבועה.

עבור $n \geq 2$ משתמשים בנוסחה:
$a_n = S_n - S_{n-1}$
עבור $n = 1$ מחשבים:
$a_1 = S_1$
חשוב לבדוק שהאיבר הראשון מתאים לנוסחה. אם לא, כותבים $a_1$ בנפרד.

מחשבים $a_1 = S_1$ ישירות מהנוסחה הנתונה.
אם הנוסחה אינה מתאימה לאיבר הראשון, כותבים אותו בנפרד.
לדוגמה: $S_n = n^2 + 5n - 1$
מחישוב: $a_1 = 5$
אבל הנוסחה נותנת 6 עבור $n = 1$.
לכן: $a_1 = 5$ בנפרד.
$a_n = 2n + 4$
עבור $n \geq 2$.

הנוסחה $a_n = S_n - S_{n-1}$
נכונה רק עבור $n \geq 2$.
עבור $n = 1$:
הנוסחה צריכה לחשב $S_0$, סכום של אפס איברים.
הסכום האמיתי של אפס איברים הוא 0 תמיד.
אבל הנוסחה הפולינומית לא תמיד מקיימת $S_0 = 0$.
לדוגמה: $S_n = n^2 + 5n - 1$
הנוסחה נותנת $S_0 = -1$, ולא 0.
לכן יש לחשב את $a_1$ ישירות.
מציבים $n = 1$ בנוסחת הסכום הנתונה, לא בנוסחה שמצאנו.

השיטה עובדת כאשר כל מחובר ב-$a_n$ הוא איבר כללי של סדרה חשבונית, הנדסית או קבועה.
אם האיבר הכללי מכיל ביטוי מסוג $n \cdot q^n$, מכפלה של מדד וחזקה, הפירוק הפשוט לא עובד.
בשאלות הבגרות הסטנדרטיות הפירוק תמיד יצליח.

הרכיב $5^n$: סדרה הנדסית.
$a_1 = 5$, מכנה הוא 5.
הרכיב $3n$: סדרה חשבונית.
$a_1 = 3$
הפרש $d = 3$.
קבוע כמו 7: סדרה קבועה.
$d = 0$
הסכום הוא $7n$.

הבדיקה הנדרשת היא של האיבר הראשון בלבד.
עבור $n \geq 2$:
הנוסחה $a_n = S_n - S_{n-1}$ נכונה לפי הגדרה.
מחשבים $a_1 = S_1$ ישירות מהנוסחה הנתונה.
מציבים $n = 1$ בנוסחה שמצאנו ומשווים.
אם שווים: הנוסחה תקפה לכל ערכי n.
אם לא: כותבים $a_1$ בנפרד.