נגזרת שורש מכפלה

שני כללים ביחד: כלל המכפלה (להרכיב את הנגזרת הכוללת) ונגזרת השורש (לגזור את $v$ שהוא השורש).
גוזרים את $u$ ואת $v$ בנפרד תחילה, ואז מרכיבים לפי כלל המכפלה.

$u = x^2-1$, נגזרתו $u' = 2x$.
$v = \sqrt{4x^2-x+1}$, נגזרתו $v' = \frac{8x-1}{2\sqrt{4x^2-x+1}}$.
מרכיבים: $y' = 2x \cdot \sqrt{4x^2-x+1} + (x^2-1) \cdot \frac{8x-1}{2\sqrt{4x^2-x+1}}$.

כי נגזרת שורש היא תמיד שבר — $v' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.
אחד האיברים בכלל המכפלה ($u \cdot v'$) מכיל שבר.
כדי לפשט, מביאים לפורמט אחיד עם מכנה משותף.

כן — הפישוט נדרש. אחד האיברים ($u \cdot v'$) הוא שבר עם $\sqrt{f(x)}$ במכנה, ואיבר אחר ($u' \cdot v$) הוא ביטוי שלם עם $\sqrt{f(x)}$. ללא הבאה למכנה משותף, נשארים עם ביטוי שלא ניתן לאחד, וכל שימוש בנגזרת (כגון מציאת קיצון) הופך לבלתי אפשרי.

לא. זה סכום של שני איברים, לא מכפלה. $3\sqrt{x^2-1}$ הוא קבוע ($3$) כפול שורש — גוזרים כל איבר בנפרד:
$(x)' = 1$
$(3\sqrt{x^2-1})' = 3 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$
המכפלה האמיתית היא $(x+3)\sqrt{x^2-1}$ — שם הביטוי $x+3$ כולו מוכפל בשורש.