עבודה עם עץ הסתברויות

מתחילים בנקודת השורש ומציירים ענף לכל תוצאה של השלב הראשון. על כל ענף כותבים את הסיכוי שלו. לדוגמה: אם $P(A) = \frac{2}{3}$ ו-$P(\bar{A}) = \frac{1}{3}$, מציירים שני ענפים עם המספרים האלה. מכל קצה ענף מציירים שוב ענפים לתוצאות השלב השני, ועליהם כותבים את ההסתברות המותנית. למשל, על הענף שיצא מ-$A$ כותבים $P(B|A)$ ו-$P(\bar{B}|A)$.

מוצאים את המסלול שמגיע לעלה $A \cap B$ ומכפילים את ההסתברויות לאורכו. אם $P(A) = \frac{2}{3}$ ו-$P(B|A) = \frac{3}{4}$, אז $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$. הכלל הוא: הסתברות כל עלה שווה למכפלת ההסתברויות על כל הענפים שמובילים אליו.

מזהים את כל המסלולים שמובילים למאורע $B$ ומסכמים את הסתברויותיהם. $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$. נוסחה זו נקראת נוסחת ההסתברות השלמה. אפשר לפרוש כל חיתוך לפי כלל הכפל: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})$. לדוגמה: אם $P(A \cap B) = \frac{1}{2}$ ו-$P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{12}$, אז $P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$.

ההסתברות המותנית $P(B|A)$ כתובה ממש על הענף שיוצא מ-$A$ לכיוון $B$, כך שאין צורך לחשב אותה מחדש. לעומת זאת, $P(A|B)$ לא כתובה ישירות, אלא מחשבים אותה בנוסחה: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, כאשר $P(A \cap B)$ מגיע ממכפלת הענפים ו-$P(B)$ מסיכום המסלולים.

עץ מתאים כשיש עד שלושה שלבים עוקבים עם מאורעות שתוצאת כל שלב משפיעה על הסיכויים בשלב הבא. אם יש ספירת אובייקטים עם שתי תכונות: טבלה. אם יש יותר משלושה שלבים או רק הסתברויות ללא מספרי אובייקטים: נוסחאות. כאשר שואלים $P(A|B)$ בלי מסלולים מרובים: עדיף נוסחאות ישירות.