ניסוי בינומי ונוסחת ברנולי

שלושה תנאים חייבים להתקיים יחד. ראשית, מספר הניסיונות $n$ קבוע מראש. שנית, הניסיונות בלתי תלויים, כלומר תוצאת ניסיון אחד אינה משפיעה על האחרים. שלישית, הסיכוי להצליח $p$ זהה בכל ניסיון. דוגמה: זורקים קוביה 5 פעמים, מה הסיכוי לקבל שש בדיוק פעמיים. מתקיימים כל שלושת התנאים, כך ש-$n=5$, $k=2$, $p=\frac{1}{6}$.

$\binom{n}{k}$ סופר את מספר הדרכים לבחור אילו $k$ ניסיונות מתוך $n$ יהיו הצלחות. $p^k$ הוא הסיכוי שכל אחד מה-$k$ הניסיונות שנבחרו יצליח. $(1-p)^{n-k}$ הוא הסיכוי שכל שאר הניסיונות יכשלו. שלושת הגורמים מוכפלים יחד כי הניסיונות בלתי תלויים.

מילות מפתח בשאלה: חזרה על אותו ניסוי מספר קבוע של פעמים, שולפים עם החזרה, בוחרים באקראי $n$ פעמים. ההבחנה החשובה: אם מדובר בשליפה בלי החזרה, אין ברנולי כי $p$ משתנה בין ניסיון לניסיון. אם נאמר במפורש שולפים עם החזרה, או מדובר בניסיונות שאינם תלויים זה בזה, ברנולי מתאים.

לפחות $k$ אומר $k$ הצלחות או יותר, ולכן מחברים: $P_n(k) + P_n(k+1) + \ldots + P_n(n)$. כשהסכום ארוך, עדיף להשתמש במשלים. למשל, לפחות הצלחה אחת שווה $1 - P_n(0)$, כלומר 1 פחות הסיכוי לאפס הצלחות.

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, כאשר $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$. ערכים שכיחים: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$. לדוגמה, $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.