סדרה הנדסית: סכום חלקי

נוסחת הסכום ל-$n$ האיברים הראשונים: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$
צורה שקולה נוחה לעבוד איתה כשמתעסקים עם $|q| < 1$: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

סכום $n$ האיברים האחרונים הוא $S_{2n} - S_n$.
התנאי: $S_{2n} = \frac{82}{81}(S_{2n} - S_n)$
שגיאה נפוצה: לכתוב $\frac{82}{81}S_{2n} = S_n$, שהיא נוסחה שגויה שמחליפה בין הצדדים.

מגדירים את $n$ האיברים האחרונים כסדרה הנדסית חדשה.
איבר ראשון: $a_{n+1} = a_1 \cdot q^n$
מנה: $q$ (אותה מנה)
מספר איברים: $n$
סכום: $S_B = \frac{a_1 q^n(q^n - 1)}{q - 1}$
מציבים את $S_B$ בתנאי הנתון ופותרים.

לאחר הצבת נוסחאות הסכום מגיעים למשוואה עם $q^{2n}$ ו-$q^n$.
מאחר ש-$q^{2n} = (q^n)^2$, ההצבה $t = q^n$ הופכת את המשוואה לריבועית ב-$t$.
לדוגמה עם $q = 3$: $t^2 - 82t + 81 = 0$
הפתרונות: $t = 81$ ו-$t = 1$, כלומר $3^n = 81 \Rightarrow n = 4$ ו-$3^n = 1 \Rightarrow n = 0$.

$n = 0$ פירושו שהסדרה בת $2n = 0$ איברים. סדרה ריקה אינה הגיונית בהקשר הנתון.
מספר האיברים חייב להיות מספר טבעי חיובי.
לכן $n = 0$ נפסל, והתשובה היחידה היא $n = 4$: סדרה בת $8$ איברים.