משוואות טריגונומטריות ריבועיות ומעורבות

מחליפים את הפונקציה הטריגונומטרית במשתנה עזר: $t = \sin\alpha$ או $t = \cos\alpha$.
מקבלים משוואה ריבועית רגילה ב-$t$ ופותרים אותה בנוסחת השורשים או בגורם משותף.
אחרי שמוצאים את $t$, פותרים $\sin\alpha = t$ כמשוואה יסודית.

מנסים לבטא אחד מהם באמצעות הזהות $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
אם המשוואה הומוגנית בדרגה $2$, מחלקים ב-$\cos^2\alpha$ ומקבלים משוואה ב-$\tan\alpha$.
לחלופין, מבודדים אחד מהם ומעלים בריבוע בזהירות, תוך בדיקת הפתרונות.

העלאה בריבוע יכולה להכניס פתרונות פסולים שאינם מקיימים את המשוואה המקורית.
לכן מציבים כל פתרון בחזרה במשוואה המקורית ובודקים שהוא נכון.
פתרון שמתקבל לאחר ההעלאה אבל לא מקיים את המשוואה המקורית, נפסל.

כאשר הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית ב-$t$ שלילית, אין פתרון ב-$t$ ולכן אין פתרון טריגונומטרי.
גם כאשר $t$ יוצא מחוץ לטווח הפונקציה, למשל $|\sin\alpha| > 1$, אין פתרון.
צריך לבדוק בכל משוואה שערך $t$ נמצא בטווח חוקי.

משוואה הומוגנית בדרגה $2$ היא כזו שכל איבר בה הוא מכפלה של שתי פונקציות טריגונומטריות.
למשל $a\sin^2\alpha + b\sin\alpha\cos\alpha + c\cos^2\alpha = 0$.
אחרי חלוקה ב-$\cos^2\alpha$ מתקבלת משוואה ריבועית ב-$\tan\alpha$: $a\tan^2\alpha + b\tan\alpha + c = 0$.