משפט הקוסינוסים

כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, כדי למצוא את הצלע השלישית.
כשידועות שלוש הצלעות, כדי למצוא זווית במשולש.
בשני המקרים משפט הסינוסים לא עובד ישירות, כי חסרים זוגות של צלע עם הזווית שמולה.

בוחרים את הזווית שרוצים למצוא, ומסמנים את הצלע שמולה כ-$c$ ואת שאר הצלעות כ-$a$ ו-$b$.
מציבים בנוסחה $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
מחשבים את הערך של $\cos\gamma$ ומפעילים $\cos^{-1}$ כדי לקבל את הזווית.

כאשר $\gamma = 90°$, מתקיים $\cos\gamma = 0$.
המכפלה $2ab\cos\gamma$ מתאפסת, והנוסחה מצטמצמת ל-$c^2 = a^2 + b^2$.
זוהי בדיוק נוסחת פיתגורס, ולכן משפט הקוסינוסים הוא הכללה שלה לכל משולש.

$\cos$ שלילי של זווית אומר שהזווית גדולה מ-$90°$, כלומר קהה.
כש-$\cos^{-1}$ מופעל על ערך שלילי מקבלים זווית בטווח שבין $90°$ ל-$180°$.
המשולש המקורי הוא קהה-זווית, ואין כאן טעות בחישוב.

הצלע $c$ היא זו שמול הזווית $\gamma$ שמופיעה בנוסחה.
אם רוצים למצוא זווית מסוימת, מסמנים את הצלע שמולה כ-$c$.
אם רוצים למצוא צלע מסוימת כשידועות שתי צלעות והזווית ביניהן, הצלע החסרה היא $c$ והזווית הידועה היא $\gamma$.

לא. $4$ הוא מספר קבוע ו-$2\cos\alpha$ הוא ביטוי שתלוי ב-$\alpha$, ולכן אלו לא איברים דומים ואסור לחבר אותם.
הם נראים חיבוריים כי שניהם נמצאים באותו צד של המשוואה, אבל $4$ לא מוכפל ב-$\cos\alpha$ בזמן ש-$2\cos\alpha$ כן.
הכלל הפשוט: רק איברים עם אותו $\cos\alpha$ מאחוריהם ניתנים לחיבור. $3\cos\alpha + 2\cos\alpha = 5\cos\alpha$ חוקי. $4 + 2\cos\alpha$ נשאר כפי שהוא.

לכל זווית $\alpha$ מתקיים $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$.
הזהות הזו עוזרת כשמופיעה בחישובים זווית כמו $180° - \beta$, למשל כשמציבים זווית חיצונית או כשהזווית המבוקשת נכתבת דרך סכום זוויות.
לדוגמה, אם $\gamma = 180° - \alpha - \beta$ ו-$\alpha + \beta = 60°$, אז $\cos\gamma = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\tfrac{1}{2}$.
במקרה כזה אל תשכחו את הסימן המינוס: הוא ההבדל בין תשובה נכונה לתשובה הפוכה.