משפטי שטח בטריגונומטריה

הורדת גובה מקודקוד לצלע $a$ יוצרת גובה באורך $b\sin\gamma$.
שטח המשולש הוא מחצית הבסיס כפול הגובה, כלומר $\frac{ab\sin\gamma}{2}$.
הנוסחה תקפה גם כש-$\gamma$ קהה, כי $\sin$ חיובי בכל הטווח שבין $0°$ ל-$180°$.

משתמשים תחילה במשפט הקוסינוסים כדי למצוא אחת מהזוויות.
לאחר מכן מציבים בנוסחת השטח $\frac{ab\sin\gamma}{2}$.
יש גם נוסחת הרון שמייתרת את המעבר דרך הזווית, אך בבגרות רגילה להשתמש בדרך הטריגונומטרית.

מכפילים את אורכי שני האלכסונים, מכפילים בסינוס הזווית ביניהם, ומחלקים ב-$2$.
הנוסחה $S = \frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\alpha}{2}$ מתאימה לכל מרובע קמור.
היא פועלת בכל צורה, כולל מקבילית, טרפז או דלתון.

כאשר הזווית בין האלכסונים היא $90°$, מתקיים $\sin(90°) = 1$.
הנוסחה מצטמצמת ל-$\frac{d_1 \cdot d_2}{2}$.
זה המקרה של ריבוע, מעוין ודלתון שבהם האלכסונים מאונכים זה לזה.

כשקשה לחשב גובה במשולש, אבל קל לחשב זווית או שהזווית ידועה.
הנוסחה מהירה במיוחד כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן.
גם בהוכחות של יחסי שטחים, נוסחת ה-$\sin$ חוסכת שרטוט של גבהים.